2025-2026学年河北唐山高三(下)期末试卷数学

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为，当且仅当时，称这样的数为“凸数”（如243），现从集合中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（）
A. B. C. D.
2、已知平面直角坐标系中有一凸四边形，且不平行于不平行于．设中点中点，且，求的取值范围（）
A．
B．
C．
D．
3、已知函数（，）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）
A. 函数的最小正周期为2
B. 函数的值域为
C. 函数的图象关于对称
D. 函数的图象向左平移个单位后得到的图象
4、正方体的棱长为1，点E，F，G分别为，、中点，现有下列4个命题：①直线与直线垂直；②直线与平面平行；③点C与点G到平面的距离相等；④平面截正方体所得的截面面积为．其中正确的是（）
A．①③
B．②③
C．②④
D．①④
5、如图，若是椭圆上位于第一象限内的点，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，是椭圆的右焦点，且，，则该椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
6、如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
7、已知，，，则（）
A．
B．
C．
D．
8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. B. C.12 D.
9、已知双曲线的离心率为，一条渐近线为l，抛物线的焦点为F，点P为直线l与抛物线异于原点的交点，则（）
A.3 B.4 C.6 D.5
10、小乌鸦发现一个底面半径为2，高为8的圆柱形容器内有水面高度为5.8的水，但是只有水面高度达到7时才能喝到水.小乌鸦为了喝到水找来了一些半径为1的小铁球放到盛水的容器内（容器壁厚度不计），则小乌鸦要喝到水最少需要小铁球的个数为（）
A．3
B．4
C．5
D．6
11、已知函数，若不等式的解集为且，则函数的单调递减区间为（）
A．
B．
C．
D．
12、已知集合或，则（）
A．或
B．或
C．或
D．
13、执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，则输出的S=（）
A．3
B．4
C．-2
D．-3
14、若则（）
A．
B．
C．
D．
15、德国哲学家、数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德，他的一个重要数学发明是二进位制，他本人也确认，中国人在三千多年前的《易经》64卦里就藏匿了这个奥妙.莱布尼茨用数0表示空位，数1表示实位，即满2进1.这样一来，所有的自然数都可以用这两个数来表示了，例如：自然数0为二进位制中的0，自然数1为二进位制中的1，自然数2为二进位制中的10，自然数3为二进位制中的11，自然数4为二进位制中的100，自然数5为二进位制中的101，….由以上二进位制的规则，可知二进位制中的10101表示的自然数是（）
A．11
B．21
C．25
D．42
16、已知三个数、、，其中，，，则、、的大小关系是（）
A．
B．
C．
D．
17、已知向量，且，则（）
A．0
B．4
C．-6
D．10
18、古希腊时期，人们把宽与长之比为（）的矩形称为黄金矩形，把这个比值称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形，，，，，均为黄金矩形，若与间的距离超过，与间的距离小于，则该古建筑中与间的距离可能是（）
（参考数据：，，，，，）
A．
B．
C．
D．
19、若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
20、某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：
给出下面四个结论：
①甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前；
②乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前；
③甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前；
④丙同学的逻辑思维成绩排名比乙同学的逻辑思维成绩排名更靠前．
则所有正确结论的序号是（）
A．①②
B．③④
C．①③
D．②③④

二、填空题（共6题，共 30分）

21、如图，根据已知的散点图得到关于的线性回归方程为，则___________.
22、已知的展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为__________．
23、已知向量是同一平面内的三个向量，其中是夹角为60°的两个单位向量．若向量满足,则的最小值为______．
24、若，的最小值是______．
25、的展开式中的系数为___________.
26、2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、2021年暑假，某高中组织了社会实践活动，与林业局合作，对当地近年鸟类变化情况和该地绿化面积进行了统计，得到如下数据：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
绿化面积（单位：公顷）
12
15
15
18
20
鸟类种数（单位：种）
80
90
100
150
180
(1)从这五年中任选3年进行研究，记为鸟类超过100种的年数，求的分布列与数学期望；
(2)若与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测，当该地绿化面积增加到30公顷时鸟类的种数（求回归方程时，，的值保留到整数）.
参考公式：，线性回归方程.
28、在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，为上一点，以为边作等边三角形，且，，三点按逆时针方向排列．
（1）当点在上运动时，求点运动轨迹的直角坐标方程；
（2）若曲线，经过伸缩变换得到曲线，若的轨迹与曲线有交点，试求的取值范围．
29、已知矩阵，所对应的変换将直线变换为自身，求实数a，b的值．
30、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）已知点的极坐标为，点为曲线上的一动点，求线段的中点到直线的距离的最大值．
31、在三棱柱中，侧棱底面，为的中点，，， .
（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积.
32、如图,在三棱锥中,底面,,.D,E分别为,的中点,过的平面与,相交于点M,N(M与P,B不重合,N与P,C不重合).
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的大小;
(3)若直线与直线所成角的余弦值时,求的长.