澎湖2025届高三毕业班第三次质量检测数学试题

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、如图所示的阴影部分是由轴，直线以及曲线围成，现向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（）
A. B. C. D.
2、将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则
A．
B．
C．
D．
3、___________，横线上可以填入的符号有（）.
A．只有
B．只有
C．与都可以
D．与都不可以
4、若直线l为，则直线l的斜率为（）
A．
B．
C．
D．
5、方程在复数集中的解有
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
6、若幂函数在区间上单调递减，则（）
A．3
B．1
C．或3
D．1或
7、在下列四个命题中，真命题的个数是（）①，;②，是有理数;③，使;④，.
A.4 B.3 C.2 D.1
8、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（）（附：）
A．
B．
C．
D．
9、的一个单调增区间是（）
A. B. C. D.
10、以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.
A．清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业
B．清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高
C．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散
D．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半
11、设向量，满足，，则（）
A．5
B．6
C．7
D．8
12、若复数满足是虚数单位则（）
A. B.
C. D.
13、若,且,则的最小值是( )
A. B. C. D.6
14、已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）
A．6
B．8
C．10
D．12
15、与终边相同的最小正角是（）
A．
B．
C．
D．
16、已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
17、某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则样本点共有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
18、河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的的图案，以自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”，把一到十分成五组，如图，其口诀∶一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为发，为金居西；五十同途，为土居中.现从这五组数中随机抽取两组数.则这两组四个数之和能被6整除的概率是（）
A．
B．
C．
D．
19、不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
20、用更相减损术求48和132的最大公约数时，需做减法的次数是(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题（共6题，共 30分）

21、直线上有动点，为坐标原点，等腰直角，，动点的轨迹方程为______．
22、三阶行列式中，元素1的代数余子式的值是_____
23、已知函数（，）在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则__________．
24、已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为________．
25、正方体中，棱长为2，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是____________
26、四面体中，，，，，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是______.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、如图所示，菱形与正方形所在平面相交于.
（1）求作平面与平面的交线，并说明理由；
（2）若与垂直且相等，求二面角的余弦值.
28、已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点，使，求双曲线的离心率的范围．
29、已知函数．
(1)当a＝－1时，证明：函数有两个零点；
(2)若时，恒成立，求实数a的取值范围．
30、双十一购物狂欢节，源于淘宝商城（天猫）年月日举办的网络促销活动，目前已成为中国电子商务行业的年度盛事，某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物情况，从这一天交易成功的所有订单里随机抽取了份，按购物金额（单位：元）进行统计，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表计算）．
（1）求的值；
（2）试估计购物金额的平均数；
（3）若该商家制订了两种不同的促销方案：
方案一：全场商品打八折；
方案二：全场商品优惠如下表：
购物金额范围
商家优惠（元）

如果你是购物者，你认为哪种方案优惠力度更大？
31、某高速公路服务区从2020年中的前10个月份中随机抽取6个月份，并统计销售收入（单位：万元）的数据，得到如下统计表：
月份
1
2
4
6
8
9
销售收入
44
45
48
52
55
56
整理相关数据得到：，，，，．
（1）求样本（）的相关系数，根据求出的相关系数，试说明样本数据具有较强的线性相关关系；
（2）建立关于的线性回归方程；（的结果；小数点后四舍五入保留两位数字）
（3）根据（2）中求得的关于的线性回归方程，试估计该高速公路服务区12月份的销售收入（保留整数）．
附：相关系数；
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；．
32、已知函数.
（1）若，且，求的值；
（2）证明：.