2025年台湾南投高考二模试卷数学

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、已知对满足的任意正实数x，y，都有，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
2、如图所示的几何图形是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A．
B．
C．
D．
3、某三棱锥的三视图如图所示，则此几何体外接球的表面积为（）
A．
B．
C．
D．
4、在四面体中，平面，平面，，且异面直线与的夹角为，则的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
5、如图所示，是长方体，是的中点，直线交平面于点，给出下列结论：
①，，三点共线；
②，，，不共面；
③，，，共面；
④，，，共面.其中正确结论的序号为（）
A.①④ B.③④ C.①③ D.②④
6、已知，，且，则在方向上的投影为（）
A．
B．
C．
D．
7、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且2＋a5＝a6＋a3，则S7＝（）
A．28
B．14
C．7
D．2
8、已知，是双曲线的左､右焦点，过作斜率为的直线，分别交轴和双曲线右支于点，，且，则的离心率为（）
A．
B．2
C．
D．
9、直线分别与直线、曲线交于点A，B，则的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
10、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
11、已知三棱锥中，，，，.有以下结论：①三棱锥的表面积为；②三棱锥的内切球的半径；③点到平面的距离为；其中正确的是（）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
12、如图，在正方体中，点为正方形的两条对角线的交点，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．
B．
C．
D．
13、定义在R上的函数是奇函数，为偶函数，若，则（）
A．
B．0
C．2
D．3
14、设集合，则“且”成立的充要条件是（）
A． B． C． D．
15、若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围（）
A. B. C. D.
16、设函数，若存在区间，使在上的值域是，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
17、已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
18、已知其中为常数，若，则的值等于( )
A. B. C. D.
19、已知函数在定义域上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在上的单调性相同时，则实数k的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
20、用列举法可以将集合使方程有唯一实数解表示为（）
A．
B．
C．
D．或

二、填空题（共6题，共 30分）

21、由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成封闭图形的其面积为________.
22、如图所示，平面平面，，，，则__________．
23、已知，，则______．
24、设函数，则的最小值为__________.
25、已知双曲线，的两个焦点分别为，，过轴上方的焦点的直线与双曲线上支交于，两点，以为直径的圆经过点，若，，成等差数列，则该双曲线的渐近线方程为______.
26、设(i是虚数单位)，则________.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、已知，求证：.
28、如图，双曲线的两条渐近线与圆在轴的上方部分交于，两点.
(1)已知，两点的横坐标和恰为关于的方程的两个根，求，的值；
(2)如果线段的长为2，求的值.
29、为阻隔新冠肺炎病毒，多地进行封城.封城一段时间后，有的人情绪波动不大，反应一般；也有的人情绪波动大，反应强烈.某社区为了解民众心理反应，随机调查了100位居民，得到数据如下表：

反应强烈
反应一般
合计
男
20
20
40
女
45
15
60
合计
65
35
100

（1）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该社区的男性居民中随机抽取3位，记其中反应强烈的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）根据调查数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为“反应强烈”与性别有关，并说明理由.
参考数据：
k

（参考公式：，其中）
30、已知集合满足以下条件：①；②若，则.
(1)求证：集合至少有3个元素；
(2)若集合，写出属于集合的两个元素，并说明理由.
31、甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工.其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天元；方式二：雨天每天元，晴天出工每天元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近年此月的下雨天数（）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的值为依据作出选择，丙以的平均值为依据作出选择.
8
9
10
11
12
13
频数
3
1
2
0
2
1
（Ⅰ）试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；
（Ⅱ）根据统计范围的大小，你觉得三人中谁的依据更有指导意义？
（Ⅲ）以频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过天的概率.
32、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求证：；
(2)若，点D为边AB上的一点，CD平分，，求边长.