2025-2026学年湖南长沙高二(上)期末试卷数学

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、已知向量，，若，则，的夹角为（）
A．
B．
C．
D．
2、已知函数，若存在两相异实数使，且，则的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
3、设集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
4、甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（）
A．
B．
C．
D．
5、已知角与角的顶点均与原点O重合，始边均与x轴的非负半轴重合，它们的终边关于y轴对称.若，则（）
A．
B．
C．
D．
6、过点且互相垂直的两直线与圆分别相交于A，B和C，D，若，则四边形的面积等于（）
A.20 B.30 C.40 D.60
7、已知函数，设，且，则的最小值为
A．4
B．2
C．
D．
8、已知向量，的夹角为，，，则（）
A．2
B．
C．
D．
9、函数的大致图象是（）
A．
B．
C．
D．
10、使用某软件的随机数命令随机生成介于与之间的个随机数，构成个数对，其中满足的共有个，则以下值最接近理论值的是（）
A．
B．
C．
D．
11、（）
A. B. C. D.
12、一组数据原有三个数据，其均值为10，现分别加入6和14，得到两组新的数据，它们的方差分别是，和，则（）
A．
B．
C．
D．与的大小关系不能确定
13、若，，则的值为（）
A．
B．
C．0
D．
14、设是虚数单位），则复数在平面内对应（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
15、已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
16、设，是非零向量，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
17、已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（）
A．
B．
C．
D．与大小不确定
18、已知条件，条件，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
19、函数的图象的相邻两个对称中心间的距离为（）
A. B.
C. D.
20、设集合，，则=( )
A. B. C. D.

二、填空题（共6题，共 30分）

21、若复数，则_________.
22、一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图是两个全等的三角形，俯视图是个圆，则该几何体的体积等于．
23、在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体的外接球的表面积是__________．
24、对于函数，部分与的对应关系如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
7
5
9
6
1
8
2
4

数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则的值为__________．
25、已知中的内角、、的对边分别为、、，若，，且．则的面积是_______．
26、已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为_____．

三、解答题（共6题，共 30分）

27、如图，在四棱锥中，⊥底面，为直角，，，，分别为，的中点．
（1）证明：⊥平面；
（2）设，若平面与平面的夹角等于，求的值．
28、今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣．某中学体育组对高三的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数），体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组进行研究．
(1)第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上的男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记3人中抽到“单次完成引体向上1-5个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(2)第二小组从学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表．

学业优秀
学业不优秀
总计
体育成绩不优秀
100
200
300
体育成绩优秀
50
50
100
总计
150
250
400
根据小概率值的独立性检验，分析是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．
参考公式：独立性检验统计量，其中．
下面的临界值表供参考：
a
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
29、已知函数，
(1)直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程；
(2)已知直线分别交曲线和于点，.当时，设的面积为，其中O是坐标原点，求的最大值.
30、在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
31、已知函数.
（1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；
（2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围.
32、在中，a、b，c分别是角A、B、C的对边，且．
（1）求角A的大小；
（2）若是方程的一个根，求的值．