南京2025届高三毕业班第一次质量检测数学试题

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、已知函数若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
2、双曲线的右焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（）
A．
B．
C．
D．
3、已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（）
A. B. C. D.
4、已知复数，则复数z的实部与虚部之和是（）
A．
B．
C．4
D．6
5、已知，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.必要条件 D.既不充分也不必要条件
6、水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足 .则下列叙述错误的是（）．
A. B. 当时，点到轴的距离的最大值为6
C. 当时，函数单调递减 D. 当时，
7、已知集合或，，则（）
A．
B．
C．
D．
8、若复数满足，其中为虚数单位，则（）
A. B. C. D.
9、已知命题：，使得；命题：若，，且，则．下列命题为真命题的是（）
A．
B．
C．
D．
10、已知在平面直角坐标系中，A(﹣3，0)，B(0，3)，C(3，0)，O(0，0)，（m∈R），的最小值为（）
A．
B．
C．
D．
11、已知全集，，，则集合是（）
A. B. C. D.
12、若曲线存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为（）
A. B. C. D.
13、已知方程其中，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是
A．该方程一定有一对共轭虚根
B．该方程可能有两个正实根
C．该方程两根的实部之和等于-2
D．若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1
14、已知是第二象限角，则下列选项中一定正确的是（）
A．
B．
C．
D．
15、已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线E上的一点，且.若直线与双曲线E的渐近线交于点M，且M为的中点，则双曲线E的渐近线方程为
A．
B．
C．
D．
16、2019年12月28-29日，福建省示范性普通高中建设学校首次击剑展示活动在福州一中高中部举行.为保证比赛顺利进行，福州一中志愿者团队的负责人老师把志愿者分成6组，每组4人，志愿者甲被分到了第三组.现在从第三组志愿者中随机选两名为剑道3的运动员服务，那么志愿者甲被选中的概率是（）
A. B. C. D.
17、若在是增函数，则实数的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
18、若，则展开式中，项的系数为（）
A. B. C. D.
19、甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是（）
A．
B．
C．
D．
20、高斯函数表示不超过的最大整数，如，，.执行下边的程序框图，则输出的值为（）
A. B. C. D.

二、填空题（共6题，共 30分）

21、已知正方体的体积为27，点，分别是线段，的中点，点在四边形内运动（含边界），若直线与平面无交点，则线段的取值范围______．
22、设正项等比数列首项，前项和为，且满足，则满足的最大正整数的值为______．
23、已知集合，，那么______.
24、已知等比数列的前项和为，公比，，则__________．
25、现有5根铁丝，长度(单位：)分别为2.1，2.2，2.4，2.5，2.7，若从中一次随机抽取两根铁丝，则它们长度恰好相差的概率是______.
26、我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺：问亭方几何？”大致意思是：有一个四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截取一段，使之成为正四棱台状方亭，且四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的高为________尺，体积是_______立方尺（注：1丈=10尺）.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、某商场记录了一周7天的客流量，整理得到下表：
日期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
日客流量（万人）
0.6
0.5
0.6
0.6
0.8
1.8
1.4
(1)商场计划在下周开展一项优惠活动，并设计了两个方案：
方案一：以天为单位，每天随机抽选100位当天到访顾客发放优惠券；
方案二：以周为单位，每周随机抽选700位当周到访顾客发放优惠券.
参考上面表格记录的客流量，你认为这两个方案哪一个更合理？说明理由；
(2)若这周商场收到了一封当天顾客写给商场的感谢信，求这封感谢信是周六收到的概率；
(3)为了调研顾客在商场驻留时间，随访了男、女顾客各50人，得到如下列联表：

驻留时间少于1小时
驻留时间不少于1小时
男顾客
35
15
女顾客
20
30
能否有99%的把握认为顾客在商场驻留时间与性别有关？
附：，其中.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
28、如图，三棱柱中，侧面为菱形，．
（1）证明：；
（2）若，，，求二面角的余弦值．
29、如图，在三棱柱中，点P，G分别是AD,EF的中点，已知平面ABC，AD=EF=3，DE=DF=2．
（Ⅰ）求证：DG⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求PE与平面BCEF 所成角的正弦值．
30、是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．日均值在微克/立方米以下空气质量为一级；在微克/立方米微克/立方米之间空气质量为二级；在微克/立方米以上空气质量为超标．某地一景区年月日至日每天的监测数据如茎叶图所示．
（Ⅰ）求这组数据的平均数，并求从这天中随机抽取一天，空气质量为超标的概率；
（Ⅱ）环保部门计划从这天中随机选取天，作为该市空气质量的参考指标，记表示抽到“空气质量超标”的天数，求的分布列及数学期望．
31、已知锐角△的面积为S，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围.
32、首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，其中P为常数．
（1）求P的值；
（2）求证：数列为等比数列；
（3）设的前n项和，证明：．