湖南省永州市2025年小升初（3）数学试卷及答案

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状后人称为“三角垛”（如图所示的是一个4层的三角躁）,“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…,设第层有个球,从上往下层球的总数为,则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
2、已知，则的大小关系为（）
A．
B．
C．
D．
3、在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
4、如图，正方形中，M，N分别是BC和CD的中点，若，则
A．
B．
C．
D．
5、某几何体的三视图如下图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）
A. B. C. D.
6、已知中，，，则的值是
A．
B．
C．
D．
7、下列命题中，真命题为（）
A．存在，使得
B．直线，平面，平面，则平面
C．最小值为4
D．，是成立的充分不必要条件
8、的值是（）
A．
B．
C．
D．
9、在一次技能比赛中，共有12人参加，他们的得分（百分制）茎叶图如图，则他们得分的中位数和方差分别为（）
A.89 54.5 B.89 53.5
C.87 53.5 D.89 54
10、已知数列，,…，…，则是这个数列的（）
A.第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项
11、已知集合且，则集合可能是（）
A. B. C. D.
12、下列函数中，与函数表示同一个函数的是（）
A．
B．
C．
D．
13、已知，则（）
A．-4
B．-3
C．
D．
14、已知函数，为的导函数，则（）
A．0
B．2015
C．2016
D．8
15、已知函数满足，则的解析式为（）
A. B.
C. D.
16、已如空间向量，，则与向量方向相反的单位向量的坐标是（）
A．
B．
C．
D．
17、在棱长为2的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为，则点到直线的距离为（）
A. B. C. D.
18、已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
19、实数满足，若的最大值为13，则的值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
20、已知集合，，，则实数的值为（）
A．
B．
C．
D．

二、填空题（共6题，共 30分）

21、从3位女生，5位男生中选4人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___________种（用数字作答）.
22、如图，多面体，两两垂直，，，，则经过的外接球的表面积是_________．
23、已知sinα=，则cos2α=______．
24、在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于______．
25、已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.
26、已知是双曲线的左焦点，以线段为边作正三角形，若顶点在双曲线上，则双曲线的离心率是__________．

三、解答题（共6题，共 30分）

27、设全集，集合，.
（1）若时，求实数的取值范围；
（2）若时，求实数的取值范围.
28、随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱．某“闹闹”水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
试销单价x（元）
3
4
5
6
7
产品销量y件
20
16
15
12
6
(1)经计算相关系数，变量x，y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；
(2)用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望．
参考公式：线性回归方程中，的最小二乘法估计分别为．
29、已知向量，向量，定义函数．
(1)求函数的解析式及单调减区间；
(2)在中，若，且，，求边上的中线长．
30、如图，在四棱锥中，，，，平面.
（1）在线段上是否存在一点使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由；
（2）求四棱锥的体积.
31、随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多，商家销售商品，既满足顾各需要，又为商家创造效益，这是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到如下的统计数据：
售价x（元）
3
4
5
6
7
日销量y（件）
69
57
54
40
30
（1）试判断变量x，y是否具有线性相关关系．若有，则求y关于x的回归直线方程；
（2）试问商家将售价（整数）定为多少元时，可使其获得最大日利润？
参考公式，相关系数，对于一细教据．
其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
参考敬据：．
32、等差数列中，已知.
（1）求及通项公式；
（2）45和85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？