浙江省宁波市2025年小升初（一）数学试卷（含答案，2025）

1、公差为d的等差数列的前n项和为，若，则下列选项正确的是（       ）

A．

B．时，n的最大值为2022

C．有最大值

D．时，n的最大值为4044

2、物理学家本福特从实际生活得出的大量数据中发现，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．根据本福特定律，在某项大量经济数据（十进制）中，若，则的值为（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

3、已知等差数列中，与的等差中项是15，，则（ ）

A.6 B.9 C.18 D.24

4、在如图所示的正方形中随机投掷20000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（     ）

附:若X~N(μ,σ2),P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544．

A．4772

B．6826

C．3413

D．9544

5、过点作直线与圆相切于、两点，则直线的方程为（ ）

A．

B．

C．

D．

6、已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（       ）

A．

B．

C．

D．

7、若函数 的定义域为， 且为偶函数，关于点成中心对称， 则下列 说法正确的是（       ）

A．的一个周期为

B．

C．的一条对称轴为

D．

8、已知函数，若存在实数、，使的定义域为时，值域为，则实数的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

9、在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（       ）

A．

B．

C．

D．

10、如图所示茎叶图表示的数据中，众数是（       ）

A．78

B．79

C．82

D．84

11、复数，则（       ）

A．4

B．

C．

D．

12、函数的大致图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

13、集合或，若，则实数的取值范围是（    ）

A．

B．

C．

D．

14、给出下列命题，其中真命题为（ ）

①用数学归纳法证明不等式时，当时，不等式左边应在的基础上加上；

②若命题：，，则：，；

③若，，，则；

④随机变量，若，则.

A．①②④

B．①④

C．②④

D．②③

15、已知函数，则不等式的解集是（  ）

A. B. C. D.

16、某口罩厂的三个车间在一个小时内共生产个口罩，在出厂前要检查这批口罩的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一､二､三车间抽取的口罩数分别为且构成等差数列，则第二车间生产的口罩数为（       ）个.

A．

B．

C．

D．

17、已知定义在上的偶函数满足，且，则（       ）

A．

B．1

C．

D．2

18、设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为

A．

B．

C．

D．

19、如果函数在区间上单调递减，那么实数a的取值范围是（   ）

A. B. C. D.

20、已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为

A.

B.

C.

D.

21、福州青运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如下图所示），则旗杆的高度为_____________米．

22、已知，是椭圆：的长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是_______.

23、设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则______.

24、已知在空间直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则___________.

25、已知圆，抛物线的准线为，设抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为

26、已知平面向量满足，则______.

27、已知函数（，）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.

(1)求和的值；

(2)当时，求函数的最大值和最小值；

(3)设，若图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标不属于区间，求的取值范围.

28、如图，在直三棱柱中，.

（I）证明：；

（II）求点到平面的距离；

（III）求二面角的大小．

29、密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励．李华同学和他的小伙伴们组团参加了一次密室逃脱游戏，他们选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A，B，C，他们通过三关的概率依次为：．若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过．只有依次通过A，B，C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励．现已知参加一次游戏的报名费为150元，最终奖励为400元．为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币．游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一枚通关币通过该关卡进入下一关．购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使用的通关币半价回收．

(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率．

(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值．（收益等于所得奖励减去报名费与购买通关币所需费用）．

30、已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别记为，的离心率为，与圆在第一象限的交点为，的面积等于．

(1)求椭圆的方程；

(2)记椭圆的上顶点为，动点在圆上，动点在椭圆上，直线的斜率分别为，且，求外接圆直径的最大值．

31、已知函数的定义域是，设，

(1)求的定义域；

(2)求函数的最大值和最小值.

32、已知函数，其中.

(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；

(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.