北京市2026年小升初（3）数学试卷（含解析）

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度（）
A. B.
C. D.
2、设的三个内角，向量，，若，则=（）
A．
B．
C．
D．
3、如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（）
（1）棱长为1的正方体
（2）底面直径和高均为1的圆柱
（3）底面直径和高均为1的圆锥
（4）底面边长为1、高为2的正四棱柱
A.（2）（3）（4） B.（1）（2）（3）
C.（1）（3）（4） D.（1）（2）（4）
4、“”是 “”成立的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5、圆C：x2＋y2－6x－8y＋9＝0被直线l：ax＋y－1－2a＝0截得的弦长取得最小值为（）
A.3 B.2 C. D.2
6、设,则（）
A． B． C． D．
7、下列函数中是定义在上的增函数的是（）
A．
B．
C．
D．
8、如图，正三角形的边长为，以等边三角形为底面，，，分别是以，，为底边的全等的等腰三角形.沿黑实线剪开后，分别以，，为折痕折起，，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：)的最大值为
A．
B．
C．
D．
9、在平面直角坐标系中，圆与圆的公共弦的长为（）
A. B. C. D.
10、已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是（）.
A．
B．
C．
D．
11、函数的定义域为，若满足如下两个条件：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“希望函数”，若函数是“希望函数”，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
12、已知角终边经过点，则（）
A. B. C. D.
13、下面四个条件中，使成立的必要不充分条件是（）
A．
B．
C．
D．
14、设，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，是以线段为底边的等腰三角形，且．若椭圆的离心率，则双曲线离心率取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
15、从1，2，3，4，5这五个数中任取一个数，则取到的数为偶数的概率是（）
A. B. C. D.
16、如图的折线图是某口罩制造厂年月至年月份的收入与支出数据，若从年月至月这个月中任意选个月的数据进行分析，则这个月的利润都不高于万的概率为（）（利润收入支出）
A．
B．
C．
D．
17、2019年底，武汉发生新冠肺炎疫情，2020年初开始蔓延.党中央，国务院面对“突发灾难”果断采取措施，举国上下万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫情防控与救治病人之中，为了协助“抗疫英雄”的工作，武汉洪山区某街道办事处有志愿者甲、乙、丙、丁4人，俩人分成一组，进行测量体温，街道喷药消毒，搬运物资等等工作，则甲、乙志愿者在同一组的概率为（）
A．
B．
C．
D．
18、如果两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“互为生成”函数，给出下列函数：；；；，其中“互为生成”函数的是　　
A. B. C. D.
19、已知函数（，），，，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
20、若，则下列结论一定正确的是( )
A．
B．
C．
D．

二、填空题（共6题，共 30分）

21、若实数，满足约束条件，则的最小值为________.
22、已知复数，其中i为虚数单位，则复数______.
23、乘积展开后的项数为________.
24、已知log23=t，则log4854=_________（用t表示）．
25、已知双曲线C：，左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作一直线与双曲线C的右半支交于P、Q两点，使得∠F1PQ=90°，则△F1PQ的内切圆的半径r =________．
26、某商场对华为手机近28天的日销售情况进行统计，得到如下数据，
t
3
6
8
11
y
m
3
5
7
利用最小二乘法得到日销售量y（百部）与时间t（天）的线性回归方程为，则表格中的数据___________.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐．为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区800名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，按照潜伏天数分组为，，，，，，，，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）．潜伏期不高于6天的患者称为“短潜伏者”，潜伏期高于6天的患者称为“长潜伏者”．
(1)计算这800名患者中“长潜伏者”的人数；并求出这800名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系，从上述800名患者中以潜伏期的长短为标准按照是否为“短潜伏者”、“长潜伏者”进行分层抽样抽取200人，得到如下表格．
①利用表格中所给数据，求出，的值；（只需求出，的值，不用说明理由）

短潜伏者
长潜伏者
合计
60岁及以上
80

60岁以下
60
合计

200
②研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，现需在样本中60岁以下的60名患者中按分层抽样方法抽取6人做Ⅰ期临床试验，再从选取的6人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验，求抽取做Ⅱ期临床试验的两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率．
28、新型冠状病毒，因2019年病毒性肺炎病例而被发现，此病母是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒，为此，某科研机构对戴口罩是否能有效预防传染进行跟踪研究，以下是新型冠状病毒肺炎患者及其家属在疫情期间是否戴口罩的统计数据：所得列联表如下：

未戴口罩(人数)
戴口罩(人数)
总计
感染(人数)
a
b
t
未感染(人数)
13
d
40
总计
20
30
50

（1）计算列联表中a，b，d，t的值；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为未感染与戴口罩有关系？
附表及公式
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
29、如图，已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，，．
（1）求证：∥平面；
（2）求点到平面的距离．
30、在平面直角坐标系xy中，曲线C的参数方程为为参数），在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）设直线与曲线C相交于A，B两点，P为曲C上的一动点，求△PAB面积的最大值.
31、已知函数（其中）．
（1）当时，求零点的个数k的值；
（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为，求证：．
32、已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的极小值；
（Ⅱ）设定义在上的函数在点处的切线方程为：，当时，若在内恒成立，则称为函数的“转点”．当时，试问函数是否存在“转点”？若存在，求出转点的横坐标；若不存在，请说明理由．