益阳2024-2025学年第二学期期末教学质量检测试题(卷)高三数学

考试时间： 90分钟满分： 150分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共15题，共 75分）

1、平面向量与的夹角为，，，则（）
A．
B．
C．
D．
2、已知向量，则（）．
A．4
B．5
C．6
D．7
3、已知函数，则（）
A．-5
B．0
C．
D．2
4、“所有9的倍数都是3的倍数.某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理
A. 完全正确 B. 推理形式不正确
C. 错误，因为大小前提不一致 D. 错误，因为大前提错误
5、若两平行直线与之间的距离是，则m+n＝（）
A．0
B．1
C．
D．
6、英国统计学家辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉.记录这些被上述案件的终审结果如下表所示（单位：件）：
法官甲
终审结果
民事庭
行政庭
合计
维持
29
100
129
推翻
3
18
21
合计
32
118
150

法官乙
终审结果
民事庭
行政庭
合计
维持
90
20
110
推翻
10
5
15
合计
100
25
125
记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为，和，则下面说法正确的是
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
7、设函数和的图像的一个公共点为，且在该点处有相同的切线，则方程一定存在负根的区间是（）．
A．
B．
C．
D．
8、给出下列两个命题：命题空间任意三个向量都是共面向量；命题若，，则方程表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（）
A．
B．
C．
D．
9、已知，且（是虚数单位）是实系数一元二次方程的两个根，那么的值分别是( )
A. B. C. D.
10、已知，，则（）
A. B. C. D.
11、已知一种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用到年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为（　　）
A. B. C. D.
12、已知函数，其图象的相邻两条对称轴间的距离为，且满足，则的解析式为（）
A. B.
C. D.
13、已知，则下列结论中错误的是（）
A．在上单调递增
B．
C．当时，
D．
14、下列说法正确的个数是（）
①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②已知随机变量，若.则；③以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3；④.在线性回归模型中，计算其相关指数，则可以理解为：解释变量对预报变量的贡献率约为；⑤.甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4个人去的景点各不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，则.
A.2 B.3 C.4 D.5
15、将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX等于(　　)
A. B. C. D.

二、填空题（共10题，共 50分）

16、观察下列等式
照此规律，第个等式为__________．
17、若点是函数的图象上任意两点，且函数分别在点和点处的切线互相垂直，则的最大值为 __________.
18、6名同学站成一排，甲、乙不能站在一起，不同的排法共有______种（用数字作答）．
19、已知，则复数的虚部是______.
20、函数在区间上的零点分别为，则________．
21、下面是关于复数的四个命题：的共轭复数为，的虚部为．其中的真命题为（）
A.， B.， C.， D.，
22、已知数列的前项和为，，，则________.
23、设等比数列的前项和为，若，则_____________.
24、若三棱锥中，，其余各棱长均为2，则三棱锥体积的最大值为______．
25、已知函数的部分图象如图，则_______.

三、解答题（共5题，共 25分）

26、阳马和鳖臑（biē nào）是《九章算术·商功》里对两种锥体的称谓．如图所示，取一个长方体，按图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵．

长方体堑堵堑堵
再沿其中一个堑堵的一个顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，以矩形为底，有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马（四棱锥），余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体（三棱锥），称为鳖臑．

堑堵阳马鳖臑
（1）在阳马（四棱锥）中，连接，若，证明：；
（2）若，，，求鳖臑（三棱锥）中二面角的余弦值．
27、在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程；
（2）当的半径最小时，曲线与交于，两点，点，求的面积.
28、如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中米，米.记三角形花园APQ的面积为S.
（1）当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值；
（2）要使S不小于1600平方米，则DQ的长应在什么范围内？
29、已知函数.
（1）求函数的单调性.
（2）证明：在上恒成立.
30、已知函数.
（1）当时，求证：；
（2）当时，，求实数的取值范围.