2025-2026学年（上）益阳九年级质量检测数学

1、如图，小红同学测量一棵与地面垂直的树的高度时，在距离树的底端米的处，测得树顶的仰角，借助计算器计算树的高度，下列按键顺序正确的是（ ）

A．

B．

C．

D．

2、在如图所示的花坛的图案中，圆形的内部有菊花组成的内接等边三角形，则这个图案（  ）

A．是轴对称图形但不是中心对称图形

B．既是轴对称图形又是中心对称图形

C．是中心对称图形但不是轴对称图形

D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形

3、下列命题中，是真命题的为（ ）

A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似

C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似

4、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（       ）

A．5元

B．10元

C．15元

D．20元

5、下列方程是关于x的一元二次方程的是（       ）

A．

B．

C．

D．

6、已知抛物线与二次函数y＝2x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（﹣1，2021），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）

A．y＝﹣2（x﹣1）2 +2021

B．y＝2（x﹣1）2 +2021

C．y＝﹣2（x+1）2+2021

D．y＝2（x+1）2+2021

7、若等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则等腰三角形的周长为（ ）

A．9

B．10

C．12

D．9或12

8、某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（        ）

A．

B．

C．

D．

9、已知二次函数，若存在、，使得与时函数值相等，则当时，函数值为（   ）

A. B.

C. D.

10、如图，，若，，，则OC的长是（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

11、计算：=　　．

12、某种药品经过两次降价由原来的每盒 12.5 元降到每盒 8 元，如果 2 次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 x，可列出的方程为_____.

13、二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：①b＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b＋c＞0，其中正确的个数是____个．

14、已知圆锥的底面半径为，侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的高是______．

15、已知反比例函数的图象经过点，则的值为___________．

16、一个半径为4cm的圆内接正六边形的周长等于_____cm．

17、如图1，在中，，，，点是边上一个动点（不与、重合），点为射线上一点，且，以点为圆心，为半径作，设.

（1）如图2，当点与点重合时，求的值；

（2）当点在线段上，如果与的另一个交点在线段上时，设，试求与之间的函数解析式，并写出的取值范围；

（3）在点的运动过程中，如果与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围.

18、为更好筹备“十四运”的召开，小颖及其小组成员将利用所学知识测量一个广告牌的高度．在第一次测量中，小颖来回走动，走到点时，其影子末端与广告牌影子末端重合于点，其中．随后，组员在直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点．镜子不动，小颖从点沿着直线后退到点时，恰好在镜子中看到顶端的像与标记重合，此时．如图，已知，小颖的身高为（眼睛到头顶距离忽略不计），平面镜的厚度忽略不计．根据以上信息，求广告牌的高度．

19、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，且AE=DE．

（1）写出图中三对相似比不为1的相似三角形   ．

（2）选择（1）中一对加以证明．

20、如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣1，3)，B(﹣4，0)，C(0，0)

⑴画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

⑵画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；

⑶在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．

21、综合与实践

问题情境

数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，.你能求出的度数吗？

(1)小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：

思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数.

思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数.

请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程.

类比探究

(2)如图2，若点是正方形外一点，，，，求的度数.

拓展应用

(3)如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，则的面积是______.

22、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于三点，其中点的坐标为，点的坐标为．

（1）求该二次函数的表达式及点的坐标；

（2）点为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接，以为邻边作平行四边形，设平行四边形的面积为

①求的最大值；

②当取最大值时，为该二次函数对称轴上--点，当点关于直线的对称点落在轴上时，求点的坐标．

23、小睿在做数学练习时，遇到下面的题目．

小睿的计算结果与参考答案不同，因此她对参考容案产生了质疑，下面是她分析、探究的过程，请你补充完整．

第一步，读题，并标记题目条件如下：

在中，D为边上一点，①，②；③，④，⑤的周长为5．

第二步，根据条件③④⑤，可以求得＿＿＿＿；

第三步，做出，如图（2）所示；

第四步，根据条件①，在图（2）中作出（尺规作图，保留作图痕迹）；

第五步，对所作图形进行观察、测量，发现与标记的条件＿＿＿＿不符（填序号），去掉这个条件，题目其他部分保持不变，则的长为＿＿＿＿．

24、问题提出：

（1）如图①，在中，，，垂足为点H，若，，则线段的长度为___________；

问题探究：

（2）如图②，在四边形中，，，点F为边的中点，点E是边上的一点，连接，，．若，，，求线段的长；

问题解决：

（3）如图③，在四边形中，，，，，点M，N是边上的两点，连接，，，交于点E，交于点F．若，，，求的面积．