莆田2025届高三毕业班第二次质量检测数学试题

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、向量满足，则向量与的夹角为（）
A．45°
B．60°
C．90°
D．120°
2、已知平面α，直线m，n满足m⊄a，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）
A.充要条件 B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件 D.充分不必要条件
3、函数，（，）的部分图象如图所示，若对任意，恒成立，则的最小正值为（）
A．
B．
C．
D．
4、函数在上的零点个数为（）
A．
B．
C．
D．
5、若，则（）
A．
B．
C．
D．
6、不等式对任意恒成立，则实数的取值范围
A．
B．
C．
D．
7、已知经过坐标原点，半径，且与直线相切，则的方程为（）．
A.或
B.或
C.或
D.或
8、设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
9、“，”的否定是（）
A．，
B．，
C．，
D．，
10、已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
11、已知一次函数的图象过点（其中），则的最小值是（）
A. B. C. D.
12、设，是两个向量，则“”是“且”的．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
13、设全集集合
集合则（）
A. B. C. D.
14、复数，满足，则（）
A．
B．
C．-3
D．-4
15、已知是边长为2的等边三角形，点是所在平面内的一点，且，则当取得最小值时，的值是（）
A．
B．
C．
D．
16、已知等比数列的各项均为正数，且，则（）
A．7
B．9
C．81
D．3
17、命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是　　
A. B. C. D.
18、已知，若关于的不等式解集中有且仅有一个正整数，则（）
A.1 B.2 C.3 D.4
19、如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，现有以下结论：①异面直线AC与MN所成的角为定值．②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．③三棱锥N－ACM与B－ACD体积之比值为定值．④四面体ABCD的外接球体积为．其中说法正确的是（）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．①④
20、已知函数，若()，则的取值范围是（）
A. B. C. D.

二、填空题（共6题，共 30分）

21、函数的最小正周期________．
22、的展开式中项的系数为_____________.
23、对定义在区间上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间上可被替代，称为“替代区间”．给出以下问题：
①在区间上可被替代；
②可被替代的一个“替代区间”为；
③在区间可被替代，则；
④（），（），则存在实数（），使得在区间上被替代；其中真命题有．
24、设实数，满足，则的最小值是．
25、某商店某种商品(以下提到的商品均指该商品)进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件.通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品的月利润最高，应将每件商品定价为___________
26、已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于__________．

三、解答题（共6题，共 30分）

27、2022年北京冬季奥运会即第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4至2月20日在北京和张家口联合举行.某研究机构为了解大学生对冰壶运动的兴趣，随机从某大学学生中抽取了120人进行调查，经统计男生与女生的人数之比为11：13，男生中有30人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人表示对冰壶运动没有兴趣.
（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“对冰壶是否有兴趣与性别有关”？

有兴趣
没有兴趣
合计
男
30

女

15

合计

120

（2）若将频率视为概率，现再从该校全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰壶有兴趣的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望和方差.
附：参考公式，其中n＝a+b+c+d.
临界值表：
P（K2≥K0）
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
K0
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
28、如图所示，几何体中，是正三角形，，均与面垂直，且，点、分别在棱、上，满足，.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
29、已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）当时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.
30、虽然吸烟有害健康，但是由于历史以及社会的原因，吸烟也是部分公民交际的重要媒介．世界卫生组织1987年11月建议把每年的4月7日定为世界无烟日，且从1989年开始，世界无烟日改为每年的5月31日．某报社记者专门对吸烟的市民做了戒烟方面的调查，经抽样只有的烟民表示愿意戒烟，将频率视为概率．
（1）从该市吸烟的市民中随机抽取3位，求至少有一位烟民愿意戒烟的概率；
（2）从该市吸烟的市民中随机抽取4位，表示愿意戒烟的人数，求的分布列及数学期望．
31、已知正项数列的前项和为，如果都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项的和为，试证明：.
32、已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．