南京2025学年度第一学期期末教学质量检测高二数学

考试时间： 90分钟满分： 160分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共20题，共 100分）

1、设全集，已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
2、执行下面的程序框图，则输出结果（）
A． B．
C． D．
3、秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入, 的值分别为,则输出的值为（　　）
A. B.
C. D.
4、设（e为自然对数的底数），则下列关系正确的是（）
A．
B．
C．
D．
5、已知集合，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
6、把函数的图像向右平移个单位，再把所得函数图像上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
7、将函数，其图象的对称轴中距离y轴最近的一条对称轴方程为（）
A．
B．
C．
D．
8、已知函数，，则的图象大致为（）
A. B. C. D.
9、设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
10、“净拣棉花弹细，相合共雇王孀.九斤十二是张昌，李德五斤四两.纺讫织成布匹，一百八尺曾量.两家分布要明彰，莫使些儿偏向.”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两.共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布.共织成布匹一百零八尺长，则（）（注：古代一斤是十六两）
A．按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了
B．按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了
C．按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了
D．按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了
11、已知变量满足约束条件，若直线将可行域分成面积相等的两部分，则目标函数的最大值为（）
A．-3 B．3 C．-1 D．1
12、对任意，若不等式恒成立(为自然对数的底数)，则正实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
13、已知集合，，则（）
A．
B．
C．
D．
14、在中，，则三角形的形状是（）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定
15、已知，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
16、已知M，N为R的子集，若，则满足题意的M的个数为（）
A．3
B．4
C．7
D．8
17、已知，且，则（）
A．
B．
C．
D．
18、已知函数，，若关于的方程恰有个不同实数根，则实数的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
19、我国南北朝时期的数学名著《孙子算经》中“物不知数”问题的解法，西方人称之为“中国剩余定理”．现有这样一个问题，将到中被整除余且被整除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（）
A．
B．
C．
D．
20、从1名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6

二、填空题（共6题，共 30分）

21、已知抛物线和点，过M的直线交抛物线于A､B两点，抛物线在点A､B处的切线､交于点P，若M为线段AB的中点，则的面积为___________.
22、已知函数.若，则___________.
23、已知函数在点处的切线平行于直线，则点的横坐标为_______________．
24、已知x，y满足约束条件则的最大值为___________.
25、在的二项展开式中常数项的系数是______.（结果用数值表示）
26、如图，在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱上一点，若与平面所成角的正切值为2，则的最小值为________.

三、解答题（共6题，共 30分）

27、已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）设有两个极值点，（），求证：.
28、已知幂函数过点．
(1)求实数m的值；
(2)求函数的值域．
29、设椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过的直线与坐标轴不垂直，它与椭圆交于，两点，是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.
30、如图，在直三棱柱中，，，；
（1）求三棱锥的体积V；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
31、2022年11月20日，卡塔尔足球世界杯正式开幕，世界杯上的中国元素随处可见．从体育场建设到电力保障，从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物……中国制造为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持．国内也再次掀起足球热潮．某地足球协会组建球队参加业余比赛．该足球队教练组对球员的使用是依据数据分析，为了考查球员甲对球队的贡献，作出如下数据统计（甲参加过的比赛均分出了胜负）：

球队负
球队胜
总计
甲参加
3
29
32
甲未参加
7
11
18
总计
10
40
50
(1)据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任边锋、中锋、后腰以及后卫四个位置，且出场率分别为：0.2，0.4，0.3，0.1，当出任边锋、中锋、后腰以乃后卫时，球队输球的概率依次为：0.4、0.3、0.4、0.2．则：
①当乙球员参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当乙球员参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担任边锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
．
32、已知数列的前项和为，是和的等差中项；
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.