通化2025学年度第一学期期末教学质量检测高三数学

考试时间： 90分钟满分： 150分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共15题，共 75分）

1、已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
2、一个随机变量的分布列如图，其中为的一个内角，则的数学期望为（）

A. B. C. D.
3、已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（）
A．
B．
C．
D．
4、直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则（）
A.， B.，
C.， D.，
5、函数的定义域为,，对任意，都有则不等式的解集为（）
A. B.
C. 或 D. 或
6、已知集合，集合，则符合条件的集合的子集个数为（）
A. B. C. D.
7、我们把各个数位上的数字之和为8的三位数称为“幸运数”，例如“170，332，800”都是“幸运数”. 问“幸运数”的个数共有（）
A．35个
B．36个
C．37个
D．38个
8、已知直线，其中为常数且．有以下结论：
①直线的倾斜角为；
②无论为何值，直线总与一定圆相切；
③若直线与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；
④若是直线上的任意一点，则．
其中正确结论的个数为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
9、已知，，，则、、的大小关系为（　　）
A．
B．
C．
D．
10、小明和妹妹跟着父母一家四口到游乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排家长，则这4个人的入园顺序的种数是（）
A．4
B．6
C．12
D．24
11、已知，，若，则实数，的值分别为（）
A．，
B．，
C．5，2
D．，
12、设抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率
的取值范围是( 　　)
A. B. [－2,2] C. [－1,1] D. [－4,4]
13、在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
14、对于变量x与y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫做（）
A．函数关系
B．线性关系
C．相关关系
D．回归关系
15、“”是“方程表示双曲线”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

二、填空题（共10题，共 50分）

16、已知直线与直线，“”是“的方向向量是的法向量”的（）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
17、某医院用甲、乙两种原材料为手术后病人配制营养餐，甲种原料每克含蛋白质5个单位和维生素C 10个单位，售价2元；乙种原料每克含蛋白质6个单位和维生素C 20个单位，售价3元；若病人每餐至少需蛋白质50个单位、维生素C 140个单位，在满足营养要求的情况下最省的费用为．
18、十六､十七世纪之交，约翰･纳皮尔潜心研究二十余年发明了对数，在此基础上，布里格斯进步改善对数，制造了第一个常用对数表．在计算器被发明之前，对数给数学的计算带来了极大的便利，拉普拉斯对此赞叹道“对数的发明让天文学家的寿命增倍．"某天文学家需要计算，经过查表得到如下参考数据，则最终计算结果为__________．
19、若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组数据的方差 .
20、已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是__________.
21、甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品分别为60件、40件、30件，为了解产品质量，采用分层抽样取一个容量为13的样本调查，则乙车间应抽_____件；
22、已知抛物线的焦点为F，M是C上一点，FM的延长线交x轴于点N.若M为的中点，则=__________.
23、在的展开式中，的系数为___________.
24、某单位在岗职工共人, 为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取名工人进行调查, 若采用系统抽样方法将全体工人编号等距分成段，再用简单随机抽样法得到第一段的起始号码为号, 则第段应抽取的个体编号为 _________．
25、两直线和的交点坐标为________.

三、解答题（共5题，共 25分）

26、如图，已知城市周边有两个小镇、，其中乡镇位于城市的正东方处，乡镇与城市相距，与夹角的正切值为2，为方便交通，现准备建设一条经过城市的公路，使乡镇和分别位于的两侧，过和建设两条垂直的公路和，分别与公路交汇于、两点，以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）当两个交汇点、重合，试确定此时路段长度；
（2）当，计算此时两个交汇点、到城市的距离之比；
（3）若要求两个交汇点、的距离不超过，求正切值的取值范围.
27、已知函数，其中为常数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若在区间上的最大值为，求的值；
（3）求证:
28、在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否相互独立的.
(Ⅰ）求乙答对这道题的概率；
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
29、已知抛物线E：的准线为，焦点为，为坐标原点。
（1）求过点、，且与相切的圆的方程；
（2）过点的直线交抛物线E于两点，点A关于x轴的对称点为，且点与点不重合，求证：直线过定点.
30、某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份).现从回收的年龄在20〜60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示.
年龄
分组
抽取份
数
答对全卷的人数
答对全卷的人数占本组的概率
[20,30)
40
28
0.7
[30,40)
n
27
0.9
[40,50)
10
4
b
[50,60]
20
a
0.1
（1）分别求出n， a， b， c的值；
（2）从年龄在[40,60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50,60] 的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率.