莆田2025学年度第一学期期末教学质量检测高三数学

考试时间： 90分钟满分： 150分

题号

评分

一

二

三

*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡

第Ⅰ卷客观题

第Ⅰ卷的注释

一、选择题（共15题，共 75分）

1、椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为（）
A. B. C. D.
2、已知则是（）
A. B.
C. D.
3、已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（）
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．直线
4、产量（，台）与单位产品成本（，元/台）之间的回归方程为，这说明（）
A．产量每增加一台，单位产品成本增加356元
B．产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元
C．产量每增加一台，单位产品成本平均增加356元
D．产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元
5、已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则抛物线的准线方程为（）
A．
B．
C．
D．
6、三棱柱中，记，则（）
A．
B．
C．
D．
7、定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）．
A．
B．
C．
D．
8、古希腊数学家阿基米德利用“逼近法"得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，椭圆的面积为，过点的直线交椭圆于点，，且的周长为8．则椭圆的标准方程为（）
A．
B．
C．
D．
9、过作圆 :的两条切线，切点分别为两点，则两点间的距离为（）
A．
B．
C．
D．
10、设是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题：
①方程不可能有两个实数根；
②方程有实数解的充要条件是；
③方程有唯一的实数解；
④方程没有实数解，其中真命题个数是（）
A．个
B．个
C．个
D．个
11、在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的周长为（）
A. B. C. D.
12、如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．
B．
C．
D．
13、已知{an}是等差数列，且，则该数列的公差是（）
A．3
B．
C．－4
D．－14
14、回归系数越大，则样本的残差平方和（）
A．越大
B．越小
C．可能大有可能小
D．以上都不正确
15、已知，，，则向量与的夹角为
A．
B．
C．
D．

二、填空题（共10题，共 50分）

16、已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是___________.
17、曲线在点处的切线方程为_____________________.
18、给出右边的程序框图，程序输出的结果是 .
19、如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长都为，且它们彼此的夹角都是，则的长为_______.
20、已知函数（为常数），在内为增函数，求实数的取值范围是__________．
21、如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是线段AD，BC上的动点，且，MN从AB向CD滑动（与AB和CD均不重合），MN与AC交于E，在MN任一确定位置，将四边形MNCD沿直线MN折起，使平面平面ABNM，则在滑动过程中，下列说法中正确的有____________．（填序号）
①的余弦值为 ②AC与MN所成的角的余弦最小值为
③AC与平面ABNM所成的角逐渐变小 ④二面角的最小值为
22、在三棱锥中， ⊥底面， ⊥，，则直线与所成角的大小是_______________.
23、设，向量，，，且，，则的值为______________.
24、如图，是直三棱柱，，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值为__．
25、已知向量，，，则=_____.

三、解答题（共5题，共 25分）

26、电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表；

非体育迷
体育迷
总计
男

女

10
55
总计

(2)据此资料你是否认为在犯错误的概率不超过0.10的前提下，“体育迷”与性别有关？
附：参考公式：，其中
参考数据：
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
27、某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了25位考生的成绩进行统计分析．25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：
（Ⅰ）请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计；
（Ⅱ）请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；
数学成绩分组
[50，60﹚
[60，70﹚
[70，80﹚
[80，90﹚
[90，100﹚
[100，110﹚
[110，120]
频数

（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的数学、物理成绩分别为xi，yi（i=1，2，3，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：数学、物理成绩具有线性相关关系，得到：=86，=64，（xi-）（yi-）=4698，（xi-）2=5524，≈0.85．求y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩（精确到1分）．
附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=-．
28、如图所示，在三棱锥中，点，分别在棱，上，且为的中点.
（1）当为的中点，求证：平面；
（2）若平面平面，，求证：.
29、（1）求证：.
（2）已知，用分析法证明：.
30、已知抛物线为上一点且纵坐标为轴于点，且，其中点为拋物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知为坐标原点，是抛物线上不同的两点，且满足，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.